完全数

定义

当一个自然数的所有真因子之和小于该自然数，那么该自然数便是亏数。
12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6
当一个自然数的所有真因子之和大于该自然数，那么该自然数便是盈数。
4 > 1 + 2
当一个自然数的所有真因子之和等于该自然数，那么该自然数便是完全数。
6 = 1 + 2 +3

性质

自然数之和

可分解为连续自然数之和。
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7
496 = 1 + 2 + 3 + 4 …… + 30 + 31

调和平均

即因子倒数之和为整数
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 =2
1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 +1/28 = 2

2的连续幂

可以用2的连续次幂表示
6 = 2^1 + 2^2
28 = 2^2 + 2^3 + 2^4

以6或8结尾

连续奇数立方和

除6意外的完全数有以下性质
28 = 1^3 + 3^3
496 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3

结语

人类至今只找到47个完全数，1亿范围内只有5个
分别是
6
28
496
8128
33550336

亲密数

定义

整数a的真因子之和等于b，b的真因子之和等于a。

例子

220 真因子之和 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 204
284 真因子之和 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

结语

5000 以内只有3对
220-284
1184-1210
2620-2924

自幂数

定义

自幂数是指一个 n 位数，它的每个位上的数字的 n 次幂之和等于它本身。（例如：当n为3时，有1^3 + 5^3 + 3^3 = 153，153即是n为3时的一个自幂数）
3位自幂数又称之为水仙花数

例子

n为1时，自幂数称为独身数。显然，0,1,2,3，4,5,6,7,8,9都是自幂数。
n为2时，没有自幂数。
n为3时，自幂数称为水仙花数，有4个：153，370，371，407；
n为4时，自幂数称为四叶玫瑰数，共有3个：1634，8208，9474；
n为5时，自幂数称为五角星数，共有3个：54748，92727，93084；
n为6时，自幂数称为六合数， 只有1个：548834；
n为7时，自幂数称为北斗七星数， 共有4个：1741725，4210818，9800817，9926315；
n为8时，自幂数称为八仙数， 共有3个：24678050，24678051，88593477；
n为9时，自幂数称为九九重阳数，共有4个：146511208，472335975，534494836，912985153；
n为10时，自幂数称为十全十美数，只有1个：4679307774。

自守数

定义

一个正整数的平方后几位等于这个数本身，这称之为自守数

性质

结尾相乘

以自守数为结尾的两个数相乘，结果后几位认识自守数
176 * 576 = 101376
276 * 376 = 103776

n->n+1

n + 1 位自守数出自 n 位自守数
5->25->625
6->76->376

神奇和

两个n位自守数之和为10^n+1
5+6=11
25+76=101
625+376=1001
…………

结语

利用神奇和性质，给出一个n位自守数，就能推出n位以下的所有自守数